ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

ファインマンを読んで気付いた事そして日常生活の記録

問題 2-4 の解答例

原書の問題文には問題点があるため、校訂版を更に加筆したものとした.

Problem 2-4

Classically, the momentum is defined as $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} p=\ppdiff{L}{\dot{x}} \tag{2.10} $$ Show that the momentum at an final point $b$ is $$ p_b=\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b}=+\ppdiff{S_{cl}}{x_b} \tag{2.11} $$ while the momentum at an initial point $a$ is $$ p_a=\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}=-\ppdiff{S_{cl}}{x_a} \tag{2.11'} $$ Hint : Consider the effect on Eq. (2.6) of a change in the end points.


(解答) まず変数$u_i$たちの関数$F=F(u_1,\, u_2,\,\dotsb,\,u_n)$に対して,その変数たちが微小な仮想的変位$\delta u_i$をするとした場合の $F$の1次変分$\delta F$は、通常の微分$dF$と類似した次式に書けることを思い出そう: $$ \delta F =\ppdiff{F}{u_1}\delta u_1+\ppdiff{F}{u_2}\delta u_2+\dotsb+\ppdiff{F}{u_n}\delta u_n \tag{1} $$ これを古典的作用$S_{cl}$に当てはめる.$S_{cl}$は明らかに端点$x_a$と$x_b$の関数と見做せる.よって, $$ \delta S_{cl} =\ppdiff{S_{cl}}{x_a}\,\delta x_a + \ppdiff{S_{cl}}{x_b}\,\delta x_b \tag{2} $$ 他方,式(2.6)から変分$\delta S$は次に書ける: $$ \delta S = \left[\delta x \ppdiff{L}{\dot{x}}\right]_{t_a}^{t_b}-\int_{t_a}^{t_b} \delta x\,\left[\frac{d}{dt}\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)-\ppdiff{L}{x}\right]\,dt \tag{2.6} $$ また極値の経路$\bar{x}(t)$を与えるのは、次の「古典的なラグランジュ方程式」であった: $$ \frac{d}{dt}\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)-\ppdiff{L}{x}=0 \tag{2.7} $$ 従って系が極値経路である古典的経路$\bar{x}(t)$に沿って運動する場合には、式(2.6)の第2項目はゼロとなる.よって古典的経路に対する作用$S_{cl}$については次が言える: $$ \begin{align} \delta S_{cl} &= \left.\delta x \ppdiff{L}{\dot{x}}\right|_{t_a}^{t_b} =\delta x_b \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{t_b} - \delta x_a \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{t_a}\notag\\ &=-\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}\delta x_a+\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b}\delta x_b \tag{3} \end{align} $$ 式(2)及び式(3)とを比較するならば、明らかに次が言える: $$ \ppdiff{S_{cl}}{x_a}=-\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a},\qquad \ppdiff{S_{cl}}{x_b}=+\left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_b} $$ よって,目的の式(2.11)と式(2.11')とが示された.


原書の問題点というのは、式(2.11)が次となっていたのである: $$ \left(\ppdiff{L}{\dot{x}}\right)_{x=x_a}=\ppdiff{S_{cl}}{x_a} $$