問題 5-12 の解答例
Problem 5-12
Show that the $x$ coordinate of position and the $x$ coordinate of momentum are not simultaneously measurable quantities.
( 解答 ) 問題 5-9 と問題 5-10 とから, 運動量の $x$ 成分に対する演算子は $\displaystyle{\hat{p}_x=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}}$ であり, 位置の $x$ 成分に対する演算子は $\hat{x}=x$ であった.そこで,2つの演算子の可換性を調べてみよう.$\heartsuit$ を任意の被演算因子とするならば, $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
よって,
$\heartsuit$ は任意であるから, 結局 2 つの演算子は「不可換」であることが分かる:
もし, 位置の $x$ 座標と運動量の $x$ 成分 $p_x$ とが「同時測定可能な物理量」( simultaneously measurable quantities ) であるならば, それらに対する演算子たちは「可換」( commute ) でなければならない.しかし, それが成り立っていないのであるから, 「これらは同時測定可能な物理量ではない」と言える.
因みに, 式 (4) の「交換関係」は, Diracが「基本的な量子条件」と呼び, 一般的には「正準交換関係」または「基本的交換関係」と呼ばれる次の関係式の一つである: