Problem 5-12
Show that the $x$ coordinate of position and the $x$ coordinate of momentum are not simultaneously measurable quantities.
( 解答 ) 問題 5-9 と問題 5-10 とから, 運動量の $x$ 成分に対する演算子は $\displaystyle{\hat{p}_x=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}}$ であり, 位置の $x$ 成分に対する演算子は $\hat{x}=x$ であった．そこで，2つの演算子の可換性を調べてみよう．$\heartsuit$ を任意の被演算因子とするならば,
$
\def\bra#1{\langle#1|}
\def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle}
\def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\odiff#1{\frac{d}{d #1}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}}
\def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
$
\begin{align}
\hat{p}_x\,\hat{x}\ \heartsuit&=\left(\frac{\hbar}{i}\pdiff{x}\right)\,x\ \heartsuit=\left(\frac{\hbar}{i}\ppdiff{x}{x}\right) \heartsuit+
x\left(\frac{\hbar}{i}\ppdiff{\ \heartsuit}{x}\right)=\frac{\hbar}{i}\ \heartsuit +\frac{\hbar}{i}\,x\,\ppdiff{\ \heartsuit}{x} ,
\label{1}\\
\hat{x}\,\hat{p}_x \heartsuit&=x\left(\frac{\hbar}{i}\pdiff{x}\right)\ \heartsuit=\frac{\hbar}{i}\,x \ppdiff{\ \heartsuit}{x} ,
\label{2}
\end{align}
よって,
\begin{align}
\left(\hat{x}\,\hat{p}_x -\hat{p}_x\,\hat{x}\right) \heartsuit&=\hat{x}\,\hat{p}_x \heartsuit-\hat{p}_x\,\hat{x}\ \heartsuit
=\left(\frac{\hbar}{i}\,x\ppdiff{\ \heartsuit}{x}\right) -\left(\frac{\hbar}{i}\ \heartsuit
+\frac{\hbar}{i}\,x\,\ppdiff{\ \heartsuit}{x}\right) \notag\\
&=\frac{\hbar}{i}\,x\ppdiff{\ \heartsuit}{x}-\frac{\hbar}{i}\ \heartsuit -\frac{\hbar}{i}\,x\,\ppdiff{\ \heartsuit}{x}=-\frac{\hbar}{i}\ \heartsuit
\label{3}
\end{align}
$\heartsuit$ は任意であるから, 結局 2 つの演算子は「不可換」であることが分かる：
\begin{equation}
\left[\,\hat{x},\,\hat{p}_x\,\right]=\hat{x}\,\hat{p}_x-\hat{p}_x\,\hat{x}=i\hbar \neq 0
\label{4}
\end{equation}
もし, 位置の $x$ 座標と運動量の $x$ 成分 $p_x$ とが「同時測定可能な物理量」( simultaneously measurable quantities ) であるならば, それらに対する演算子たちは「可換」( commute ) でなければならない．しかし, それが成り立っていないのであるから, 「これらは同時測定可能な物理量ではない」と言える．
因みに, 式 (4) の「交換関係」は, Diracが「基本的な量子条件」と呼び, 一般的には「正準交換関係」または「基本的交換関係」と呼ばれる次の関係式の一つである：
\begin{equation}
[ x_i,\,x_j ]=0,\quad [ p_i, p_j ] =0, \quad [ x_i, p_j ] = i\hbar \,\delta_{i j}
\label{5}
\end{equation}