リエナール-ヴィーヒェルトのポテンシャルから導かれる電磁場
前のブログ記事：「グリーン関数について part 4」に書いたように, その記事中の式(36)の「リエナール-ヴィーヒェルトのポテンシャル」から, Jackson のやり方で電場の式(42)を求めてみよう．しかし Jackson や Panofsky & Phillips さらには Oppenheimer などを見たのだが, どれもその導出を追うことが出来なかった．最後に, 清水忠雄：「電磁気学II」の § 10.2 を参照することで, やっと導出することが出来た．以下では今まで用いて来た Gauss単位系 に換算して書き直した式を示すことにする．
リエナール-ヴィーヒェルトのポテンシャルは次である： $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
\begin{equation*}
\Phi(\mb{r},t)=\left[\frac{q}{\ds{\left(R-\frac{\mb{R}\cdot\mb{v}}{c}\right)}}\right]_{ret}
=\left[\frac{q}{s}\right]_{ret},\quad
\mb{A}(\mb{r},t)=\left[\frac{q\,\mb{v}}{\ds{c\left(R-\frac{\mb{R}\cdot\mb{v}}{c}\right)}}\right]_{ret}
=\left[\frac{q\,\mb{v}}{cs}\right]_{ret}
\tag{1}
\end{equation*}
ただし$\displaystyle{\mb{n}=\frac{\mb{R}}{R},\ \overrightarrow{\beta}=\frac{\mb{v}}{c}}$ で $\displaystyle{s= R\left(1-\frac{\mb{n}\cdot\mb{v}}{c}\right)=R(1-\mb{n}\cdot\overrightarrow{\beta})}\equiv R\kappa$ である．これらを, 次の電場の式
\begin{equation*}
\mb{E}(\mb{r},t)=-\text{grad}_{t}\Phi -\frac{1}{c}\left(\ppdiff{\mb{A}}{t}\right)_R
\tag{2}
\end{equation*}
に代入することで, 式(42)が得られるはずである．ただし, 下添字は「それらを一定とした場合を考えていること」を示している． これ以降も下添字は同じ意味なので注意する．最初に, 途中で必要となる関係式をまとめて示しておく．これらは前のブログ記事から求められる式たちである．
まず, 式(38)と同様に考えて次が言える：
\begin{align*}
&\text{grad}_{t}\Phi =\text{grad}_{t'}\Phi + \ppdiff{\Phi}{t'}\,\text{grad}\,t',\tag{3}\\
&\text{grad}_{t'}\Phi=\text{grad}_{t'}\left(\frac{q}{s}\right)
=q\pdiff{s}\left(\frac{1}{s}\right)\text{grad}_{t'} s =-\frac{q}{s^{2}}\text{grad}_{t'} s,\\
&\ppdiff{\Phi}{t'}=\ppdiff{\Phi}{s}\ppdiff{s}{t'}=\pdiff{s}\left(\frac{q}{s}\right)\ppdiff{s}{t'}
=-\frac{q}{s^{2}}\ppdiff{s}{t'},\\
&\ppdiff{\mb{A}}{t'}=\pdiff{t'}\left(\frac{q}{c\,s}\mb{v}\right)
=\frac{q}{c}\pdiff{t'}\left(\frac{1}{s}\right)\mb{v}+\frac{q}{c}\frac{1}{s}\dot{\mb{v}}
=-\frac{q\,\mb{v}}{c\,s^{2}}\ppdiff{s}{t'}+\frac{q}{c\,s}\dot{\mb{v}}
\end{align*}
式(40)からは, 次が言える：
\begin{equation*}
\ppdiff{t'}{t}=\frac{R}{s},\quad \text{grad}\,t' = -\frac{R\mb{n}}{c\,s}=-\frac{\mb{R}}{c\,s},\quad
\ppdiff{\mb{A}}{t}=\ppdiff{t'}{t}\ppdiff{\mb{A}}{t'}=\frac{R}{s}\ppdiff{\mb{A}}{t'}
\tag{4}
\end{equation*}
また, 式(39)を利用すると,
\begin{align*}
&\text{grad}_{t'} s =\pdiff{\mb{r}}\left(R-\frac{(\mb{r}-\mb{r}')\cdot\mb{v}}{c}\right)
= \ppdiff{R}{\mb{R}}\ppdiff{\mb{R}}{\mb{r}}-\frac{\mb{v}}{c}
=\frac{\mb{R}}{R}\times 1 -\frac{\mb{v}}{c}=\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}
\tag{5}\\
&\ppdiff{s}{t'}=\pdiff{t'}\left(R-\frac{\mb{R}\cdot\mb{v}}{c}\right)
=\ppdiff{R}{t'}-\frac{1}{c}\ppdiff{\mb{R}}{t'}\cdot\mb{v}-\frac{\mb{R}}{c}\cdot\ppdiff{\mb{v}}{t'}
=-\mb{n}\cdot\mb{v}-\frac{v^{2}}{c}-\frac{R}{c}\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}
\tag{6}
\end{align*}
以上の式(3)$\sim$式(6)を用いることで, 式(2)は次のように展開される：
\begin{align*}
\mb{E}&=-\text{grad}_{t}\Phi -\frac{1}{c}\ppdiff{\mb{A}}{t}_R\\
&=-\text{grad}_{t'}\Phi -\text{grad}\,t^{'}\,\ppdiff{\Phi}{t'}-\frac{1}{c}\frac{R}{s}\ppdiff{\mb{A}}{t'}\\
&=-\frac{q}{s^{2}}\text{grad}_{t'} s +\frac{R\mb{n}}{c\,s}\left(-\frac{q}{s^{2}}\ppdiff{s}{t'}\right)
-\frac{R}{c\,s}\left(-\frac{q\mb{v}}{c\,s^{2}}\ppdiff{s}{t'}+\frac{q}{c\,s}\dot{\mb{v}}\right)\\
&=\frac{q}{s^{2}} \left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)-\frac{q R\mb{n}}{c\,s^{3}} \ppdiff{s}{t^{'}}
+\frac{q R\mb{v}}{c^{2}s^{3}} \ppdiff{s}{t^{'}}-\frac{q R}{c^{2} s^{2}} \dot{\mb{v}}\\
&=\frac{q}{s^{2}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)-\frac{q R}{c\,s^{3}} \left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
\ppdiff{s}{t^{'}}-\frac{q R}{c^{2}s^{2}} \dot{\mb{v}}\\
&=\frac{q}{s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)-\frac{q R}{c\,s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
\ppdiff{s}{t^{'}}-\frac{q R}{c^{2}s^{2}} \dot{\mb{v}}\\
&=\frac{q}{s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)-\frac{q R}{c\,s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
\left(-\mb{n}\cdot\mb{v}+\frac{v^{2}}{c}-\frac{R}{c}\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}\right)-\frac{q R}{c^{2}s^{2}} \dot{\mb{v}}\\
&=\frac{q}{s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right) \left\{s-\frac{R}{c}\left(-\mb{n}\cdot\mb{v}
+\frac{v^{2}}{c}\right)\right\}+\frac{q R^{2}}{c^{2}s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\mb{n}\cdot
\dot{\mb{v}}-\frac{q R}{c^{2}s^{2}} \dot{\mb{v}}\\
&=\frac{q}{s^{3}}R\left(1-\beta^{2}\right)\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
+\frac{q R^{2}}{c^{2} s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}
-\frac{q R}{c^{2}s^{2}} \dot{\mb{v}}
\tag{7}
\end{align*}
ここで, $\dot{\mb{v}}$ を含む第3項と第4項を一緒にしたものを考える：
\begin{equation*}
\frac{q R^{2}}{c^{2} s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}-\frac{q R}{c^{2}s^{2}} \dot{\mb{v}}
=\frac{q R^{2}}{c^{2}s^{3}}\left\{\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
-\frac{s}{R}\dot{\mb{v}}\right\}
\tag{8}
\end{equation*}
これに, ベクトル解析の次の公式を適用する：
\begin{equation*}
\mb{A}\times(\mb{B}\times\mb{C})=(\mb{A}\cdot\mb{C})\mb{B}-(\mb{A}\cdot\mb{B})\mb{C}
\tag{9}
\end{equation*}
すると,
\begin{align*}
\mb{n}\times\left\{\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\times\dot{\mb{v}}\right\}
&=\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)-\mb{n}\cdot\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
\dot{\mb{v}}\\
&=\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
-\frac{\ds{R\left(1-\frac{\mb{n}\cdot\mb{v}}{c}\right)}}{R}\dot{\mb{v}}\\
&=\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
-\frac{s}{R}\dot{\mb{v}}
\tag{10}
\end{align*}
この結果は, 式(8)の波括弧中の部分に一致している．よって, 式(8)は次のように表すことが出来る：
\begin{equation*}
\frac{q R^{2}}{c^{2} s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}-\frac{q R}{c^{2}s^{2}} \dot{\mb{v}}
=\frac{q R^{2}}{c^{2}s^{3}}\mb{n}\times\left\{\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\times\dot{\mb{v}}\right\}
\tag{11}
\end{equation*}
従って, 式(7)の電場 $\mb{E}$ は最終的に次のように表せる：
\begin{align*}
\mb{E}&=\frac{q}{s^{3}}R\left(1-\beta^{2}\right)\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
+\frac{q R^{2}}{c^{2}s^{3}}\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\mb{n}\cdot\dot{\mb{v}}
-\frac{q R}{c^{2}s^{2}}\dot{\mb{v}}\\
&=\frac{q}{s^{3}}\left(1-\beta^{2}\right)\left(R\mb{n}-\frac{R\mb{v}}{c}\right)
+\frac{q R^{2}}{c^{2}s^{3}}\mb{n}\times\left\{\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)\times\dot{\mb{v}}\right\}\\
&=\frac{q}{s^{3}}\left(1-\beta^{2}\right)\left(\mb{R}-R\overrightarrow{\beta}\right)
+\frac{q}{c^{2}s^{3}}\mb{R}\times\left\{\left(\mb{R}-R\overrightarrow{\beta}\right)\times\dot{\mb{v}}\right\}
\tag{12}
\end{align*}
これは前ブログの式(42)に一致している．
磁場の式(43)も同様にして求めることが出来る．ただし, さらに次の関係式を利用する必要があるようだ：
\begin{align*}
\text{rot}_{t}\mb{A}&=\text{rot}_{t'}\mb{A}+\text{grad} t' \times\ppdiff{\mb{A}}{t'}
=\text{rot}_{t'}\mb{A}-\frac{R}{cs}\mb{n}\times\ppdiff{\mb{A}}{t'}, \tag{13}\\
\mb{n}\times\dot{\mb{v}}&=-\mb{n}\times\left\{ \mb{n}\times(\mb{n}\times\dot{\mb{v}}) \right\}
\tag{14}
\end{align*}
すると, 式(43)の結果が得られるようである：
\begin{align*}
\mb{H}&=\frac{q R}{c^{2}s^{3}}\left(1-\beta^{2}\right)(\mb{v}\times\mb{n})
-\frac{q R^{2}}{c^{3}s^{3}}\mb{n}\times\left[\mb{n}\times\left\{\left(\mb{n}-\frac{\mb{v}}{c}\right)
\times\dot{\mb{v}}\right\}\right]\\
&=\mb{n}\times\mb{E}
\tag{15}
\end{align*}
ただし,「ようだ」としたのは, 途中の詳細を疲れたので確認してないからでありま〜す!．
