Jefimenkoの公式とFeynman表現式
前のブログ：「Liénard-Wiechert の点ポテンシャルについて」に書いたように, Liénard-Wiechert ポテンシャルは「等速度運動する点電荷」が作るポテンシャルであった．それは「位置 $\mathbf{x}'$ で運動する源泉 (電荷及び電流) 」が観測点 $P$ (位置 $\mathbf{x}$ )に作る, 次の「より一般的な遅延ポテンシャル」： $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} $
\begin{align*}
&\Phi(\mb{x},t)=\int d^{3}\mb{x}'\,\frac{1}{R}\,\rho(\mb{x}',t')_{ret}=\int \frac{\rho_{t-R/c}}{R}\,dV,
\tag{1}\\
&\mb{A}(\mb{x},t)=\frac{1}{c}\int d^{3}\mb{x}'\,\frac{1}{R}\,\mb{j}(\mb{x}',t')_{ret}
=\frac{1}{c}\int \frac{\mb{j}_{t-R/c}}{R}\,dV
\tag{2}
\end{align*}
の特別な場合である．ただし $R=|\mb{R}|$ また $\mb{R}=\mb{x}-\mb{x}'$ である．この「一般的な遅延ポテンシャル」からは, どのような電場と磁場が得られるのかを簡単にまとめておこう．
Jefimenkoの公式
この節は Jacksonの文章を元に書いてある．
一般的な運動を行っている源が作る式(1)と式(2)の「遅延ポテンシャル」からは, 次のような電場と磁場の式が得られる：
\begin{equation*}
\mb{E}(\mb{x},t)=\int d^{3}\mb{x}'\,\left\{\frac{\mb{n}}{R^{2}}[\rho(\mb{x}',t')]_{ret}
+\frac{\mb{n}}{cR}\left[\ppdiff{\rho(\mb{x}',t')}{t'}\right]_{ret}
-\frac{1}{c^{2}R}\left[\ppdiff{\,\mb{j}(\mb{x}',t')}{t'}\right]_{ret}\right\}
\tag{3}
\end{equation*}
そして,
\begin{equation*}
\mb{H}(\mb{x},t)=\frac{1}{c}\int d^{3}\mb{x}'\,\left\{[\mb{j}(\mb{x}',t')]_{ret}
\times\frac{\mb{n}}{R^{2}}+\left[\ppdiff{\,\mb{j}(\mb{x}',t')}{t'}\right]_{ret} \times\frac{\mb{n}}{cR}\right\}
\tag{4}
\end{equation*}
時間微分 かつ 遅延を含んだ項は, 時間依存する源への一般化を提供するものになっている．これら2つの結果式(3)と(4)は, ときどきクーロンの法則とビオ-サバールの法則の「Jefimenkoの一般化」または「Jefimenkoの公式」として知られており, この著者の本(Jefimenko:1966) で一般に広まったものである．
( 参考 ) 式(3)と式(4)の導出過程の詳細はWikipediaに書かれているので参照されたい：
点電荷が作る場の Heaviside-Feynman の式
点電荷の場合には, 上述の式(3)と式(4)に $\rho=q\delta^{3}(\mb{x}'-\mb{r}(t'))$ と $\mb{j}=\rho\,\mb{v}(t')$ を代入することで求められ, 前に書いたブログ記事：「Liénard-Wiechert の点ポテンシャルについて」で示した式 (21.1) が得られる：
\begin{equation*}
\mb{E}=q\left\{\left[\frac{\mb{n}}{R^{2}}\right]_{ret}+\frac{[R]_{ret}}{c}
\pdiff{t}\left[\frac{\mb{n}}{R^{2}}\right]_{ret}+\frac{1}{c^{2}}\bpdiff{t}[\mb{n}]_{ret}\right\}
\tag{7}
\end{equation*}
ファインマンが「ファインマン物理学 Vol.II」の § 21-1 で提示したこの表現式は「 Heaviside-Feynman expressions for the fields of a point charge」と呼ばれており, ファインマンが初めて示した表現らしい！．その原形は MKS単位系 の表現の式であり, 次のように表されている：
\begin{equation*}
\mb{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{\mb{e}_{r'}}{r^{'2}}+\frac{r'}{c}
\odiff{t}\left(\frac{\mb{e}_{r'}}{r^{'2}}\right)+\frac{1}{c^{2}}
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\mb{e}_{r'}\right]
\tag{8}
\end{equation*}
そして次のような説明をしている：「If a charge moves in an arbitrary way, the electric field we would find now at some point depends only on the position and motion of the charge not now, but at an earlier time $-$ at an instant which is earlier by the time it would take light, going at the speed $c$, to travel the distance $r'$ from the charge to the field point. In other words, if we want the electric field at point (1) at the time $t$, we must caluculate the location (2') of the charge and its motion at the time $(t-r'/c)$, where $r'$ is the distance to the point (1) from the position of the charge (2') at the time $(t-r'/c)$. The prime is to remind you that $r'$ is the so-called ''retarded distance'' from the point (2') to the point (1), and not the actual distance between point (2), the position of the charge at the time $t$, and the field point (1). 」．
「ファインマン物理学」の中で, ファインマンはこの遅延ポテンシャルに関する事柄の説明に何度も繰り返し言及しており, 下図に似た図も沢山書いている．( 学生さんが間違いやすい重要な事柄と思われたのかも知れない )．
他方,「磁場についてのヘビサイドの式」は次である：
\begin{equation*}
\mb{H}=\frac{q}{c}\left\{\left[\frac{\mb{v}\times\hat{\mb{R}}}{\kappa^{2} R^{2}}\right]_{ret}
+\frac{1}{c[R]_{ret}}\pdiff{t}\left[\frac{\mb{v}\times\hat{\mb{R}}}{\kappa}\right]_{ret}\right\}
\tag{9}
\end{equation*}
ファインマン表現の式(8)が, 前のブログ記事：「リエナール-ヴィーヒェルトのポテンシャルから導かれる電磁場」中のLiénard-Wiechert ポテンシャルから得られる電場の式(12)に一致することは, 例えば次のサイトに示されている：
http://mdns.esy.es/wp-content/uploads/2017/07/heavisidefeynman.pdf
