問題 5-11 の解答例
Problem 5-11
The wave function $\chi_{a,b, c, \dotsb}(x)$, as discussed in Sec. 5-2, shows a particularly simple behavior when subjected to the operator $\mathcal{A}$. Thus $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
\begin{equation}
\mathcal{A}\,\chi_{a, b,c,\dotsb}(x)=a\,\chi_{a,b,c,\dotsb}(x)
\tag{5-53}
\end{equation}
Show that this last result is true.
When a function $\chi$ satisfies an equation such as (5-53), we say that $\chi$ is an eigenfunction of the operator $\mathcal{A}$ associated with the eigenvalue $a$.
( 解答 ) 本文の式 (5-25) の $\psi(G)$ は, 系が性質 $G$ すなわち「物理量 $A$ の値が $a$ である」という性質を持つ確率振幅であった：
\begin{equation}
\psi(G)=\int dx\,g^{*}(x)\,f(x)
\tag{5-25}
\end{equation}
このとき, 式 (5-30) 以降の議論から「$g(x)=\chi_{a}(x)$ は, 確実に性質 $G$ を持つ粒子の波動関数である」と言えた．すなわち, 系が波動関数 $g(x)$ で表される状態に在るならば, 物理量 $A$ の測定結果は確実に値 $a$ となる．よって,「 $g(x)$ は物理量 $A$ の固有値 $a$ を持つ固有関数である」と言える．このことを踏まえて, 答えて行こう．
式 (5.43) 及び式 (5.44)から,
\begin{align}
\mathcal{A}f(x)&=\int dx^{'}\,G_A(x,x^{'})\,f(x^{'}),\tag{5.43}\\
G_A(x,x^{'})&=\sum_{a,b,c,\dotsb}\,a\,\chi_{a,b,c, \dotsb}(x)\,\chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x^{'})
\tag{5.44}
\end{align}
上述より, $f(x)$ が $\mathcal{A}$ の固有関数 $g(x)=\chi_a(x)$ である場合を考えればよい．従って，$f(x)=\chi_{a,b,c,\dotsb}(x)$とすると, 上の 2 式から
\begin{align}
\mathcal{A}\,\chi_{a,b,c,\dotsb}(x)&=\int dx^{'}\,G_A(x,x^{'})\,\chi_{a,b,c,\dotsb}(x^{'})\notag\\
&=\int dx^{'}\,\left(\sum_{a^{'},b^{'},c^{'}, \dotsb}\,a^{'}\,\chi_{a^{'},b^{'},c^{'}, \dotsb}(x)\,\chi^{*}_{a^{'},b^{'},c^{'}, \dotsb}(x^{'})\right)
\,\chi_{a,b,c,\dotsb}(x^{'})
\end{align}
ここで, 式 (5.35) の規格直交性を利用する：
\begin{equation}
\int dx\ \chi^{*}_{a,b,c,\dotsb}(x)\,\chi_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(x)=\delta(a-a^{'})\,\delta(b-b^{'})\,\delta(c-c^{'})\dotsb
\end{equation}
この式 (2) を式 (1) に代入し, 物理量が連続量である場合には和を積分に書き直すべきであることを考慮すると,
\begin{align}
\mathcal{A}\,\chi_{a,b,\dotsb}(x)&=\int dx^{'}\,\sum_{a^{'},b^{'},c^{'}, \dotsb}\,a^{'}\,\chi_{a^{'},b^{'},c^{'}, \dotsb}(x)\,\chi^{*}_{a^{'},b^{'},c^{'}, \dotsb}(x^{'})\ \chi_{a,b,c,\dotsb}(x^{'})\notag\\
&=\sum_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}\,a^{'}\,\chi_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(x)\int dx^{'}\,
\chi^{*}_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}(x^{'})\,\chi_{a,b,c,\dotsb}(x^{'})\notag\\
&=\sum_{a^{'},b^{'},c^{'},\dotsb}\,a^{'}\,\chi_{a^{'},b^{'},\dotsb}(x)\ \delta(a-a^{'})\,\delta(b-b^{'})\,\delta(c-c^{'})\,\dotsb\notag\\
&=\int da^{'}\int db^{'}\int dc^{'}\dotsb\ a^{'}\,\chi_{a^{'},b^{'},\dotsb}(x)\ \delta(a-a^{'})\,\delta(b-b^{'})\,\delta(c-c^{'})\,\dotsb\notag\\
&=a\,\chi_{a,b,c,\dotsb}(x)
\end{align}
よって, 確かに式 (5.53) が成り立つことが分かった．
