問題 12-3 の解答例
しばらく前に進めなかったが, 先日ようやく最後の問題を解くことが出来た．Feynman & Hibbs に取り掛かったのが多分 2014 年の 7 月くらいであったから, Feynman を「解読する」のにちょうど 5 年も掛かったことになる．
Problem 12-3
For $m=n$, verify $\displaystyle{P(m\to m)=1-\sum_{n} P(m\to n)}$ as required by conservation of probability.
( 解答 ) ケットが規格直交化されている場合を考えるならば $\langle m | 1 | n \rangle=0$ である．従って, その場合の式 (12.106) は, 被積分関数の最後の 2 項だけが残り次となる： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
\begin{align}
P(n\to m)&=\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\Big\{ \alpha^{*}(t,t')\BraKet{m}{q(t)}{n}\BraKet{m}{q(t')}{n}^{*}\notag\\
&\qquad +\alpha(t,t')\BraKet{m}{q(t)}{n}^{*}\BraKet{m}{q(t')}{n}\Big\}
\label{1}
\end{align}
さらに, エルミート的な物理演算子 $X$ に対しては, 次の公式が成り立つ：
\begin{equation}
\BraKet{\beta}{X}{\alpha}^{*}=\BraKet{\alpha}{X}{\beta}
\label{2}
\end{equation}
すると, 位置関数 $q(t)$ は明らかにエルミートなので $\BraKet{m}{q(t)}{n}^{*}=\BraKet{n}{q(t)}{m}$ と書き直せる．$q(t')$ についても同様であるから, 式 \eqref{1} は次のように書ける：
\begin{align}
P(n\to m)&=\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\Big\{ \alpha^{*}(t,t')\BraKet{m}{q(t)}{n}\BraKet{n}{q(t')}{m}\notag\\
&\qquad +\alpha(t,t')\BraKet{n}{q(t)}{m}\BraKet{m}{q(t')}{n}\Big\}
\label{3}
\end{align}
このとき $m=n$ とすると次式が得られる：
\begin{align}
&P(n\to n)=P(m\to m)\notag\\
&=\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\bigg\{\alpha^{*}(t,t')\BraKet{n}{q(t')}{n}\BraKet{n}{q(t)}{n}
+\alpha(t,t')\BraKet{n}{q(t)}{n}\BraKet{n}{q(t')}{n}\bigg\}\notag\\
&=\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\bigg\{\alpha^{*}(t,t')\BraKet{m}{q(t')}{m}\BraKet{m}{q(t)}{m}+\alpha(t,t')\BraKet{m}{q(t)}{m}\BraKet{m}{q(t')}{m}\bigg\}
\label{4}
\end{align}
次に, 「確率保存」から明らかに次式が言える：
\begin{equation}
\sum_{m}P(n\to m)=1
\label{5}
\end{equation}
これに上式 \eqref{3} の $P(n\to m)$ を代入すると,
\begin{align}
&\sum_m \int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\bigg\{\alpha^{*}(t,t')\BraKet{n}{q(t')}{m}\BraKet{m}{q(t)}{n}
+\alpha(t,t')\BraKet{n}{q(t)}{m}\BraKet{m}{q(t')}{n}\bigg\}\notag\\
&=\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\left\{\alpha^{*}(t,t')\bra{n}q(t')\sum_m \PKB{m}{m}q(t)\ket{n}
+\alpha(t,t')\bra{n}q(t)\sum_m \PKB{m}{m}q(t')\ket{n}\right\}\notag\\
&=1
\label{6}
\end{align}
ここでケット $\ket{m}$ の「完備性」から次式が言えることに注意する：
\begin{equation}
\sum_m \ket{m}\bra{m}=\PKB{n}{n}+\sum_{m\ne n}\PKB{m}{m}=1
\label{7}
\end{equation}
この関係式 \eqref{7} を上式 \eqref{6} に用いると,
\begin{align}
&\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\bigg\{\alpha^{*}(t,t')\bra{n}q(t')\sum_m \PKB{m}{m}q(t)\ket{n}
+\alpha(t,t')\bra{n}q(t)\sum_m \PKB{m}{m}q(t')\ket{n}\bigg\}\notag\\
&=\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\bigg\{\alpha^{*}(t,t')\bra{n}q(t')\,\bigg(\PKB{n}{n}+\sum_{m\ne n}\PKB{m}{m}\bigg)\,q(t)\ket{n}\notag\\
&\quad +\alpha(t,t')\bra{n}q(t)\,\bigg(\PKB{n}{n}+\sum_{m\ne n}\PKB{m}{m}\bigg)\,q(t')\ket{n}\bigg\}\notag\\
&=\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\bigg\{\alpha^{*}(t,t')\BraKet{n}{q(t)}{n}\BraKet{n}{q(t')}{n}
+\alpha(t,t')\BraKet{n}{q(t)}{n}\BraKet{n}{q(t')}{n}\bigg\}\notag\\
&\quad+\sum_{m\ne n}\int_0^{T} dt\int_0^{t}dt'\,\bigg\{\alpha^{*}(t,t')\BraKet{n}{q(t')}{m}
\BraKet{m}{q(t)}{n}+\alpha(t,t')\BraKet{n}{q(t)}{m}\BraKet{m}{q(t')}{n}\bigg\}\notag\\
&=1
\label{8}
\end{align}
このとき, 上式の積分部分は, 式 \eqref{3} と式 \eqref{4} から次のように書くことが出来る：
\begin{equation}
P(n\to n)+\sum_{m\ne n}P(n\to m)=P(m\to m)+\sum_{m\ne n}P(n\to m)=1
\label{9}
\end{equation}
よって, 次式が言える：
\begin{equation}
P(m\to m)=1-\sum_{m\ne n}P(n\to m)
\label{10}
\end{equation}
これは, 示すべき式である．
