式 (12-112) 以降の事柄について
§ 12-8 の式 (12-112) 以降の事柄が成立する理由を考察したので書いておこう．式 (12-112) の前後の文章は次である：
ガウス型雑音を受けている古典的力*1 による擾乱の場合, $\alpha(\theta)$ は実数であり, $a(\nu)$ の実数部は式 (12-50) *2 で定義されたような雑音の「パワースペクトル関数」である [ 式 (12-87) を参照のこと ]．従って, このような「古典的雑音」の系 (classical noise systems) に対して次が成り立つ： $ \def\bra#1{\langle#1|} \def\ket#1{|#1\rangle} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\PKB#1#2{|#1\rangle\langle #2|} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} $
\begin{equation}
a_R(\nu)=a_R(-\nu)
\tag{12.112}
\end{equation}
そして, 1 次の摂動では次となる：
\begin{equation}
\text{Rate of transition}\ n\to m =\text{Rate of transition}\ m\to n
\tag{12.113}
\end{equation}
両辺の遷移確率は, 遷移の振動数に於ける「パワー $\mathscr{P}(\nu)$ 」に比例する．よって, 古典的力は同じ確率で上向きと下向きの遷移を引き起こす．もう一つの面白い例は, 環境が系にエネルギー供給することが十分な確率で行えない場合である．例えば, 環境が初期に基底状態 ( すなわち絶対零度 ) にある場合である．このような環境を「冷たい」と呼ぶことにする．そのような状況では, 系 $q$ がエネルギーの高い状態 $(E_m>E_n)$ に遷移することは起こり得ない．従って, このような「冷たい環境系」( cold-environment systems )では,
\begin{equation}
a_R(\nu)=0\qquad \text{for}\quad \nu>0
\tag{12.114}
\end{equation}
であり, 1 次の摂動では次となる：
\begin{equation}
\text{Rate of transition}\ n\to m = 0\qquad \text{if}\quad E_m > E_n
\tag{12.115}
\end{equation}
任意の $a(\nu)$ は, 式 (12.112) に示されたタイプと式 (12.114) で示されたタイプとの和として表されるから, 時間に依存しないガウス型汎関数は, 冷たい環境中でガウス型の式で表される揺動古典力の作用を受けている系と等価であることは明らかである．この結論は, 2 つのガウス型関数の積もまたガウス型であると言う事実及び規則 IV とから導かれる．1 つの環境が系に及ぼす作用を式 (12.87) の方法に従って $A_1(t,t')$ と表わし, 他の環境の作用を $A_2(t,t')$ と表わすならば, 生じる単一なガウス型汎関数中に現れる単一の相互作用は $A_1+A_2$ となる．
[1]. 「$\alpha(\theta)$ が実数である場合, 式 (12.112) が成立すること」は, 次のように $a(\nu)$ の定義式 (12.109) から容易に示すことが出来る：
\begin{align}
a(\nu)&=\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha(\theta)\,e^{-i\nu\theta}
=\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha(\theta)\,\cos\nu\theta -i\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha(\theta)\,\sin\nu\theta \notag\\
a(-\nu)&=\int_0^{\infty}d\theta \,\alpha(\theta )\,e^{i\nu\theta }
=\int_0^{\infty}d\theta \,\alpha(\theta )\,\cos\nu\theta +i\int_0^{\infty}d\theta \,\alpha(\theta )\,\sin\nu\theta
\label{1}
\end{align}
従って,
\begin{equation}
a_R(\nu)=a_R(-\nu)=\int_0^{\infty}d\theta \,\alpha(\theta )\,\cos\nu\theta
\label{2}
\end{equation}
[2]. 「任意の $a(\nu)$ は, 式(12.112) に示されたタイプと式 (12.114) で示されたタイプとの和として表される」ことは, 任意の $a(\nu)$ が一般的な$\alpha(\theta )=\alpha_R(\theta )+i\alpha_I(\theta )$ のフーリエ変換から得られることから示すことが出来る：
\begin{align}
a(\nu)&=\int_0^{\infty}d\theta \,\big\{\alpha_R(\theta )+i\alpha_I(\theta )\big\}\,e^{-i\nu\theta }
=\int_0^{\infty}d\theta \,\alpha_R(\theta )\,e^{-i\nu\theta}+i\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_I(\theta)\,e^{-i\nu\theta}\notag\\
&=\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_R(\theta)\,\cos\nu\theta -\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_I(\theta)\sin\nu\theta
+i\left(-\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_R(\theta)\,\sin\nu\theta+\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_I(\theta)\cos\nu\theta\right),\notag\\
a(-\nu)&=\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_R(\theta)\,\cos\nu\theta +\int_0^{\infty}d\theta,\alpha_I(\theta\sin\nu\theta
+i\left(\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_R(\theta)\,\sin\nu\theta+\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_I(\theta)\cos\nu\theta\right)
\label{3}
\end{align}
従って,
\begin{align}
\therefore\quad a_R(\nu)&=\int_0^{\infty}d\theta,\alpha_R(\theta)\,\cos\nu\theta-\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_I(\theta)\sin\nu\theta,\notag\\
a_R(-\nu)&=\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_R(\theta)\,\cos\nu\theta +\int_0^{\infty}d\theta\,\alpha_I(\theta)\sin\nu\theta
\label{4}
\end{align}
よって, 一般的な $a(\nu)$ について, その実数部 $a_R(\nu)$ は次のように表せることが分かる：
\begin{equation}
a_R(\nu)=\frac{1}{2}\big\{a_R(\nu)+ a_R(-\nu)\big\}+\frac{1}{2}\big\{a_R(\nu)- a_R(-\nu)\big\}
\label{5}
\end{equation}
このとき, 右辺の第 1 項は $a_R(\nu)=a_R(-\nu)$ のとき残るけれども, 第 2 項は消えてゼロとなってしまう．従って, 第 1 項目は式 (12.112) のタイプの成分を示し, 第 2 項は式 (12.114) のタイプの成分を表していると言える．
