問題 5-3 の解答例 - ファインマンさんの肩に乗って晴耕雨読の日々

この問題を「経路積分ゼミナール」では「ラグランジュの未定定数法」を用いて解答している．しかしながらそれがよく分からなかったので, ここで示すのは「解答」とは言えないような「問題が意味することを理解する」ための記述である．

Problem 5-3

Assume $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(x)f(x)\,dx}$ , which is the probability that a particle of wave function $f(x)$ is somewhere, has been normalized to the value $1$. Under this constraint, show that the state $f(x)$ which has the highest probability of having the property $G$ is $f(x)=g(x)$.

( 解答 ) 波動関数 $g(x)=\langle x | g\rangle$ は, あるオブザーバブル $G$ の固有関数であるとしよう．そして, それに相当した実数の固有値 $g_i$ に属する状態ケットを $|g_i \rangle$ とする．この $|g_i\rangle$ を基礎ベクトルに採用しよう： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2}#1}{\partial #2^{2}}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}} \def\mfrac#1#2{\frac{#1}{#2}} $

\begin{equation} g(x)=\BK{x}{g} \quad \leftrightarrow\quad \ket{g}=\ket{g_i},\quad G\ket{g_i}=g_i\ket{g_i} \label{eq1} \end{equation}

すると任意の状態ベクトル $\ket{\alpha}$ はこの基礎ケット $\ket{g_j}$ で表わすことが出来るので, 系の波動関数 $f(x)=\BK{x}{f}$ に相当する状態ケット $\ket{f}$ もやはり基礎ケット $\ket{g_j}$ で展開できるはずである：

\begin{equation} \ket{\alpha}=\sum_j \ket{f_j}\BK{f_j}{\alpha},\quad f(x)=\BK{x}{f},\quad \ket{f}=\sum_j\BK{g_j}{f}\,\ket{g_j} \label{eq2} \end{equation}

また問題文より, 系の状態ケット $\ket{f}$ は規格化されているとする：

\begin{align} \BK{f}{f}&=\bra{f}\left(\int dx\,\ket{x}\bra{x}\right)\ket{f}=\int dx\,\BK{x}{f}^{*}\BK{x}{f}=\int dx\,f^{*}(x)f(x)=1 \label{eq3}\\ \BK{f}{f}&=\left(\sum_j\bra{g_j}\BK{g_j}{f}^{*}\right)\left(\sum_k \BK{g_k}{f}\,\ket{g_k}\right) =\sum_j\sum_k\BK{g_j}{f}^{*}\BK{g_k}{f}\BK{g_j}{g_k}\notag\\ &=\sum_j\sum_k \BK{g_j}{f}^{*}\BK{g_k}{f}\delta_{j\,k} =\sum_j \BK{g_j}{f}^{*}\BK{g_j}{f}=\sum_j \left|\BK{g_j}{f}\right|^{2}=1 \label{eq4} \end{align}

このとき「特性 $G$ を持つ系の振幅」は式 (5-25) の $\psi(G)$ であった：

\begin{equation} \psi(G)=\BK{g_i}{f}=\bra{g_i}\left(\int dx\,\ket{x}\bra{x}\right)\ket{f}=\int dx\,\BK{g_i}{x}\BK{x}{f}=\int dx\,g^{*}(x)f(x) \label{eq5} \end{equation}

また, 系が特性 $G$ の装置を通過し得る確率は, 式 (5-23) の $P(G)$ であった：

\begin{equation} P(G)=|\psi(G)|^{2}=\left|\int dx\,g^{*}(x)f(x)\right|^{2}=|\BK{g_i}{f}|^{2} \label{eq6} \end{equation}

この確率が, 系の規格化条件の式(4)：$\BK{f}{f}=1$ を満たしながら最大値, すなわち $P(G)=1$ となるのは $\ket{f}=\ket{g_i}$ つまり $f(x)=g(x)$ の場合であることは明らかである：

\begin{align*} &\ket{f}=\ket{g_i}\quad \rightarrow\quad \BK{f}{f}=\sum_{j} \BK{g_{j}}{f}\BK{f}{g_{j}}=\sum_j \BK{g_{j}}{g_i{}}\BK{g_{j}}{g_{i}}=\sum_j \delta_{i\,j}\,\delta_{j\,i}=\delta_{i\,i}=1\\ &\ket{f}=\ket{g_i}\quad \rightarrow\quad P(G)=|\BK{g_i}{f}|^{2}=\BK{g_i}{f}\BK{f}{g_i}=\BK{g_i}{g_i}\BK{g_i}{g_i}=\delta_{i\,i}\delta_{i\,i}=1 \end{align*}

もし初期波動関数 $f(x)$ が規格化されていない場合に系の特性 $G$ を測定するならば, 結果は色々な値 $g_i$ を式(6)の確率 $P(G)=|\BK{g_j}{f}|^{2}$ で持つことになるであろう．

このことは, 例えば運動量測定器の場合で言うならば, 「運動量測定器の検出する値を $p_i$ に設定したとき, 入射粒子は運動量 $p_i$ を持っている場合にだけ, 測定器のスリットを通過できる」ということを示しているのである．そして, もし初期粒子が不定な運動量を持った「純粋状態にない粒子たち」で, そのような粒子たちを1個ずつ入射させる場合を考えるならば, 運動量測定器の設定値 $p_j$ を色々に変えると, 粒子は $|\BK{p_j}{f}|^{2}$ の確率で検出されることになるのである．

( 参考 ) 「特性関数」は「確率論」で用いられる概念である．ファインマンの第12章確率論における諸問題には, 次のように記述されている：

式 (12-5) で求められる関数の平均値の中で, 最も重要なものの一つは $e^{ikx}$ の平均値である．これは「特性関数」と呼ばれ次となる：
\begin{equation} \phi(k)=\langle e^{ikx}\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}P(x)\,dx \tag{12.8} \end{equation}
これは「モーメント母関数」と呼ばれることもある．これは単なる $P(x)$ の「フーリエ変換」であり, 分布の様々な特性を評価するのに極めて有用な関数である．なぜなら, これは分布関数そのもの(正確に言うならば「確率密度関数そのもの」であろう)を知ることと等価であるからである．この最後の事実は, 逆変換を次式のように行うことが可能であることの結果である：
\begin{equation} P(x)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}\phi(k)\,dk \tag{12.9} \end{equation}

信号波形をフーリエ変換すると, その信号の周波数分布を得ることが出来るのであった．従って, 上記の運動量分析器は基本的には「周波数アナライザー」に相当すると言えるかも知れない．