問題3-10 の解答の準備の最後として,「ゲージ変換」について, J.J. Sakurai の§ 2.6 から文章を抜粋して述べておく． 一定のポテンシャル 古典力学では, ポテンシャルエネルギーの原点は物理的に任意に選ぶことが出来ることはよく知られていることである．こ…

問題3-10の解答を書く準備として, もう一つ記事を書いておく．それは経路積分のより一般的な「位相空間に於ける経路積分」の表現についてである．ファインマンの本文の§ 2-4 の式(2.25)は, 「配位空間に於ける経路積分」の表現と言える： $ \def\ket#1{|#1\r…

問題3-10では,「電磁場に於ける荷電粒子の運動」を扱っている．この場合, 荷電粒子は速度に依存したポテンシャルを受けながら運動することになる．そこで問題に答える準備として, まず「速度依存ポテンシャル」について, テル・ハール：「解析力学」の第2章…

Problem 3-9 Find the kernel for a particle in a constant external field where the lagrangian is \begin{equation} L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2} + fx \tag{3.61} \end{equation} The result is \begin{equation} K=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar T}\right)^…

Problem 3-8 For a harmonic oscillator the lagrangian is $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff…

前の記事「遷移振幅と遷移要素の違い」に於いて, ファインマン物理学から「量子力学の第一原理」について書いた．しかしファインマンはそれだけでなく, ファインマン物理学V「量子力学」の第3章で,「第2番目の一般原理」そして「第3番目の一般原理」も記述し…

Problem 3-7 Further information about this function $F$ can be obtained from the property expressed by Eq. (2.31). First notice that the results of Prob. 3-6 imply that $F(t_b-t_a)$ can be written as $F(t)$, where $t$ is the time interval …

Problem 3-6 Since the free-particle lagrangian is quadratic, show that (Prob. 2-1) $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #…

Problem 3-5 Use the results of Prob. 3-2 and Eq. (3.42) to show that the wave function of a free particle satisfies the equation $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|…

Problem 3-4 Suppose a free particle has a definite momentum at the time $t=0$ ( that is, the wave function is $Ce^{i(p/\hbar)x}$ ). With the help of Eqn. (3.3) and (3.42), show that at some later time the particle has the same definite mom…

Problem 3-3 By squaring the amplitude given in Eq. (3.20) and then integrating over , show that the probability of passage through the original sharp-edged slit is \begin{equation} P(\text{going through})=\frac{m}{2\pi\hbar T} 2b \tag{3.35…

Problem 12-2 Show that the constant required to normalize the probability function is \begin{equation} \text{const} = \sqrt{\frac{6}{\pi R T^{3}}}\sqrt{\frac{1}{2\pi R T}} \tag{12.77} \end{equation} (解答) § 3.5 ガウス積分, に於いて「経路 …

前述の記事と関連して, 式(12.21)から式(12.25)までの導出過程も示しておこう． 指数関数の級数展開 $e^{A}\simeq 1+A+A^{2}/2!+\dotsb$ で $\displaystyle{A=i\int dt\,k(t)g(t-s)}$ とすると, $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#…

式(12.17)が成立するのは明らかである ( 同形な積分の$n$個の掛け合わせとなるので, 各々の積分変数を全て $t_i=s$ とすればよい )： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#…

式(12.20)などを導出するもう一つの準備として, 不規則信号を電気回路などに加えた場合の出力信号の性質について調べてみよう．この記事は, 佐藤拓宋：「電気系の確率と統計」§ 7.4 から抜粋してまとめたものである． 線形変換 (linear transformation) 入力…

式(12.20)などを導出する前に, その物理的背景である「ショット効果雑音」について書いておこう．以下の記事は, 小倉久直：「確率過程論」の§ 9.2 及び佐藤拓宋：「電気系の確率と統計」そして霜田光一：「エレクトロニクスの基礎」からの抜粋をまとめたもの…

式 (12.58) は, 校訂版では指数部だけの表現に修正され, また $K(\omega)$ はその複素共役に変更されている： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#…

前述の問題3-2で「振幅 $K(b,a)$ はシュレディンガー方程式を満たす特殊な波動関数と見做すことが出来る」ことを確認した．これはどう言う事なのだろうか？. J.J.Sakurai ：「現代の量子力学」の § 2.5 は「プロパゲーターとファインマンの経路積分」となっ…

解答に必要なのは微分することだけだ。問題自体は多くの問題の中で最も易しい方である． Problem 3-2 Show by substitution that the free-particle kernel $K(b,a)$ satisfies the differential equation $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} …

昨日ようやくこの問題の解答を書くことが出来たので, 順番的にはずっと後のものであるが今日提示しておくことにしよう．この問題も自力では解けなかった．参考書を色々見ていたら, 斎藤慶一：「確率と確率過程」§ 3.3 に,「ほぼ解答と思える文章があった」の…

第12章は「確率論に於ける諸問題」という題になっている．その章の最初で Feynman は次のように述べている： 前の幾つかの章で多数の量子力学的問題を扱うためにどのようにして経路積分を使うかを述べた．これらの問題はその物理的性質からして確率論的問題…

Problem 3-1 The probability that a particle arrives at the point $b$ is by definition proportional to the absolute square of the kernel $K(b,a)$. For the free-particle kernel of Eq. (3-3) this is $$ P(b)\ dx = \frac{m}{2\pi\hbar(t_b-t_a)}\…

この問題文は非常に長いので原文よりも訳本の文章を示しておこう．また解答は、T.Jacobson, L.S.Schulman が書いた論文：「Quantum stochastics: the passage from a relativistic to a non-relativistic path integral」を訳したものに, 次の論文 (1). L. H…

今日は久しぶりに暖かくて風も無かったので, 今年最初の麦踏みを行なった．例年ならば１月にも実施したのだが, 麦の播種が少し深かったことと今年の冬が例年に比べすごく寒いので成長があまり良くない．のでやっと今年の第一回目の実施となったのである． ま…

問題 2-6 は「Feynman checkerboard」として今でも論文が書かれる問題のようだ．そこで解答を提示す前に、この問題の意義・内容をより理解する目的で、L.S.Schulmanが 「Techniques and Applications of Path Integration」(Dover Edition) にSupplements と…

問題 2-6 では、1次元の運動をする自由粒子に対する相対論的量子力学の運動方程式すなわち 1+1 Dirac方程式に言及している．L.H.Kauffman, H.P.Noyes, Discrete physics and the Dirac equation, Phys. Lett. A 218 (1996) に, 時間-空間次元が 1+1 のDirac…

この問題文も校訂版を修正したものにする． $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #…

原書の問題文には問題点があるため、校訂版を更に加筆したものとした． $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}…

ネットで調べた方法で保存しておいた生姜の種を今日見たら、見事にカビだらけであった． 濡れた新聞紙で包んだ種を発砲スチロール箱に入れて、物置１階の東側壁際の机上に置いたままずっと見ていなかった！．仕方がないので、まあダメ元と思って、種を皆取り…

校訂版はこの問題文の表記を変更している．しかしこれ以降で示すブログの解答例は, 原則として「原書」の問題文に対してのものにしようと思う．ただし, 符号などで校訂版の方が良いと判断されるなどの場合は例外とする．また, これ以降は問題文も原則として…