Problem 4-8 Show from the fact that $H$ is hermitian that $E$ is real. $\ \ $ [ Choose $f=g=\phi$ in Eq. (4-30). ] $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} …

Problem 4-7 Show that if $t_1 < t_3$, the left-hand side of Eq. (4-38) equals $K^{*}(3,1)$ $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\p…

Problem 4-6 Show that $K(2,1) \rightarrow \delta(x_2-x_1)$ as $t_2\to t_1+0$. $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\p…

以下は「ファインマン物理学」の第25章の第5節と第26章の第1節に多少の修正と加筆をしたものである．ここでは $c=1$ とする． 動く電荷による４元ポテンシャル $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\…

前のブログ：「Liénard-Wiechert の点ポテンシャルについて」に書いたように, Liénard-Wiechert ポテンシャルは「等速度運動する点電荷」が作るポテンシャルであった．それは「位置 $\mathbf{x}'$ で運動する源泉 (電荷及び電流) 」が観測点 $P$ (位置 $\mat…

この問題は自力では解けなかったので, 「経路積分ゼミナール」を参照して解答としている． Problem 4-5 Using the relation \begin{equation} K(2,1)=\int_{-\infty}^{\infty} K(2,3)K(3,1)\,dx_3 \tag{4-26} \end{equation} with $t_3-t_1=\varepsilon$, an…

4次元の勾配 次に議論すべきは勾配の4次元的な類似物についてである． Vol. I の第14章で, ３つの演算子 $\partial/\partial x$, $\partial/\partial y$, $\partial/\partial z$ が3次元ベクトルと同じ変換性を持ち「勾配」と呼んだことを思い出そう．同じ構…

前のブログで「Liénard-Wiechertポテンシャルは相対論的な式である」ことを述べた．相対論はずっと前に内山の教科書で学んだが内容はもうすっかり忘れているし, 最近は「相対論をちゃんと分かってないな」と痛感することがしばしばである．ファインマン物理…

Problem 4-4 Show $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\pa…

Problem 4-3 Show that the complex conjugate function $\psi^{*}$, defined as the function $\psi$ with every $i$ changed to $-i$, satisfies $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1…

Problem 4-2 For a charged particle in a magnetic field the lagrangian is $$ \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\mb#1{\mathbf{#1}} \def\reverse#1{\frac{1}{#1}} \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} L=\frac{m\dot{\mb{x}}^{2…

Problem 4-1 Show that for a single particle moving in three dimensions in a potential energy $V(\mathbf{x},t)$ the Schrödinger equation is \begin{equation} -\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\ps…

前に書いたブログ記事：「グリーン関数について part 4」の中で, 式(36)の「リエナール・ヴィーヒェルトのポテンシャル」を紹介した． $ \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff#1{\frac{d}{d #1}}…

Problem 3-13 By keeping track of all the constants, show that the implication is that the jacobian satisfies \begin{equation} J\sqrt{N}\left(\frac{\sqrt{2N}}{\pi}\right)^{N}\prod_{n=1}^{N} \frac{1}{n}\rightarrow 1\quad \text{as}\quad N\to\…

Problem 3-12 If the wave function for a harmonoic oscillator is (at $t=0$) $$ \def\mfrac#1#2{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}} \def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\quad\strut #1\quad}$}} \psi(x,0)=\exp\left[ -\frac{m\omega}{2\hbar}(x-a)^{2}\right] \tag{3.…

この問題も, 前問と同様に次のサイトに解答例が示されている： http://www2.oberlin.edu/physics/dstyer/FeynmanHibbs/Prob3-11.pdf しかし, ここでは Hagen Kleinert の解説文をまとめることで解答して見よう． Problem 3-11 Suppose the harmonic oscillat…

この記事は本文 §3.5 からの抜粋である．あえて記事として書いておくのは, この部分は以降の章でよく利用される事柄で, 問題3-11でも用いられるからである． 最も単純な経路積分は「指数部分に全ての変数が2次の多項式の形で現れる場合」で, それは特に「ガ…

4月に入って農作業が色々と始まったり, 問題の検討と修正に大分手間取ってしまったので記事にするのが大分遅れたが, 今日やっと書き上げることが出来た．前述したように, この解答はkleinertの解説を元にしたものである． 色々と間違いやタイプミスがあって…

Problem 3-9 Find the kernel for a particle in a constant external field where the lagrangian is \begin{equation} L=\frac{m}{2}\dot{x}^{2} + fx \tag{3.61} \end{equation} The result is \begin{equation} K=\left(\frac{m}{2\pi i\hbar T}\right)^…

Problem 3-8 For a harmonic oscillator the lagrangian is $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\odiff…

Problem 3-7 Further information about this function $F$ can be obtained from the property expressed by Eq. (2.31). First notice that the results of Prob. 3-6 imply that $F(t_b-t_a)$ can be written as $F(t)$, where $t$ is the time interval …

Problem 3-6 Since the free-particle lagrangian is quadratic, show that (Prob. 2-1) $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #…

Problem 3-5 Use the results of Prob. 3-2 and Eq. (3.42) to show that the wave function of a free particle satisfies the equation $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|…

Problem 3-4 Suppose a free particle has a definite momentum at the time $t=0$ ( that is, the wave function is $Ce^{i(p/\hbar)x}$ ). With the help of Eqn. (3.3) and (3.42), show that at some later time the particle has the same definite mom…

Problem 3-3 By squaring the amplitude given in Eq. (3.20) and then integrating over , show that the probability of passage through the original sharp-edged slit is \begin{equation} P(\text{going through})=\frac{m}{2\pi\hbar T} 2b \tag{3.35…

Problem 12-2 Show that the constant required to normalize the probability function is \begin{equation} \text{const} = \sqrt{\frac{6}{\pi R T^{3}}}\sqrt{\frac{1}{2\pi R T}} \tag{12.77} \end{equation} (解答) § 3.5 ガウス積分, に於いて「経路 …

前述の記事と関連して, 式(12.21)から式(12.25)までの導出過程も示しておこう． 指数関数の級数展開 $e^{A}\simeq 1+A+A^{2}/2!+\dotsb$ で $\displaystyle{A=i\int dt\,k(t)g(t-s)}$ とすると, $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#…

式(12.17)が成立するのは明らかである ( 同形な積分の$n$個の掛け合わせとなるので, 各々の積分変数を全て $t_i=s$ とすればよい )： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#…

式 (12.58) は, 校訂版では指数部だけの表現に修正され, また $K(\omega)$ はその複素共役に変更されている： $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} \def\BK#1#2{\langle #1|#2\rangle} \def\BraKet#1#2#3{\langle#1|#2|#3\rangle} \def\ppdiff#…

解答に必要なのは微分することだけだ。問題自体は多くの問題の中で最も易しい方である． Problem 3-2 Show by substitution that the free-particle kernel $K(b,a)$ satisfies the differential equation $ \def\ket#1{|#1\rangle} \def\bra#1{\langle#1|} …